Veeldeling

Prijsvraag mei 2012

Of een getal deelbaar is door 2 zie je meteen aan het laatste cijfer. Hetzelfde geldt voor getallen deelbaar door 5 en 10. Bijna iedereen kent ook het criterium voor deelbaarheid door 3 en door 9: de som van de cijfers moet deelbaar zijn door 3 (dan wel 9).

Bij zeer grote getallen kan de som van de cijfers nog te groot zijn om de deelbaarheid te zien. Dan neem je opnieuw de som van de cijfers, en zo nodig nog een keer. Minder bekend is deelbaarheid door 11: nummer de cijfers van rechts naar links 1, 2, 3… enzovoort. Tel de cijfers met een oneven nummer op, trek daar de cijfers met een even nummer vanaf. Het resultaat moet deelbaar zijn door 11 (0 is ook deelbaar door 11).

Voor 7 is er ook zo’n criterium, maar dat is omslachtig. Verdeel het getal vanaf de rechterkant in groepjes van drie cijfers. Vermenigvuldig in elk groepje het linker cijfer met 2 en het middelste cijfer met 3. Tel per groepje op. Trek de oneven groepjes van de even groepjes af. Neem als voorbeeld het getal 31.022.195.778. Groeperen: 031; 022; 195; 778. Vermenigvuldigen: 3 x 3 + 1 = 10; 3 x 2 + 2 = 8; 2 x 1 + 3 x 9 + 5 = 34; 2 x 7 + 3 x 7 + 8 = 43. Optellen en aftrekken vanaf rechts: 43 - 34 + 8 - 10 = 7. En inderdaad blijkt: 31.022.195.778 = 7 x 4.431.742.254.

Waarom werkt dit? Zodra je dat door hebt, kun je voor elke deler een dergelijk criterium vinden, al is dat meestal nog omslachtiger. In het ergste geval moet je voor een deler n het getal in groepen van n-1 cijfers verdelen en die allemaal met een ander getal vermenigvuldigen en optellen. Anderzijds, het criterium voor delen door 37 en 137 is relatief simpel. Hint: ga ‘delen met rest’. We zijn benieuwd of er zeer grote delers bestaan met een simpel criterium – naar verwachting een kolfje naar de hand van de programmeurs onder ons.